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ui ... fein ... eine pseudomathematische Diskussion *gg*
Das unendlich in verschiedenen Abstufungen (Mächtigkeiten) vorliegt ist ja jedem klar ... und das der Grenzprozess eher theoretischer Natur, denn praktischer ist, wurde ja auch schon klar ... daher hab ich mal ein Schmankerl für euch, dass teilweise auch Dinge us dem Nichts entstehen bzw. ins Nichts verschwinden:
http://reimari.saunalahti.fi/~jylppy69/bizare.gif
So .. wer kann mir denn mal das genau erklären? :wink:
Nochwas interessantes:
Ok, das sieht leider etwas seltsam aus, aber ich denke, jeder weiß, was gemeint ist.
Also, an keiner Stelle berührt die Linie das Koordinatensystem, egal wie weit man es fortführt.
Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche 1 von der Linie aus bis unendlich nach rechts, wenn die Trennlinie die Länge 1 hat?
Man würde denken unendlich, weil es ja unendlich so weiter geht, aber dem ist nicht so.
Angenommen man zeichnet Quadrate ein. Das erste mit der Seitenlänge 1 beginnt an besagter Trennlinie und geht nach rechts. Die Stelle, wo es die Linie scheidet, ist 1/4 über der Achse. Dementsprechend zeichnet man dort ein neues Quadrat mit der Seitenlänge 1/2 und so weitere Quadrate die Aufgrund der Eigenschaften der Linie die Seitenlängen 1/9, 1/16, 1/25 usw. haben. Bekannt ist weiterhin, das wenn man Zu 1 erst 1/2, dann 1/4, dann 1/8 usw. bis in die Unendlichkeit addiert, 2 herauskommt. Die Zahlen die addiert sind, sind weitaus kleiner und außerdem liegen die Quadrate nur teilweise auf der Fläche. Ergo: Die Fläche, obwohl sie bis in die unedlichkeit weitergeführt wird, ist bertächtlich kleiner als 2!
Ich habe die Zeichnung jetzt einmal weggelassen.
Die Fläche geht zwar gegen 2 auf den ersten Blick, aber es gibt ja kein Ende der Fläsche. Die Fläche ist dann annähernd 2 groß, wenn sie ein Ende hätte. Aber da dieses Ende nie erreicht wird, ist die Fläche unendlich groß. Das ist rein mathematische Logik. (Dazu ein kleines Bsp. : ein Physiker und ein Mathematiker haben beide die gleiche Menge Zaun. Jeder soll damit eine Fläche einrahmen, die die des anderen übertrifft.
Der Physiker sagt sich: das Quadrat hat immer den größten Flächeninhalt.
Also baut er auf der Wiese einen Quadratischen Zaun. Der MAthematiker baut um sich herum einen kreisförmigen Zaun, und definiert das innere des Kreise als außen...)
@Eggie
Nun ja, das andere ist genauso mathematische Logik. Die beiden wiedersprechen sich vielleicht, aber das tut der Logik keinen Abbruch.
Nick-Nack
Wenn man die Annäherung unendlich lange fortführt, kommt man auch bei unendlich an. Das ist genauso wie das (schein-)paradoxon mit der Schildkröte und dem schnellsten Läufer Griechenlands (hab jetzt leider den Namen vergessen) wo beide gegeneinander laufen, der Typ ist doppelt so schnell wie die Schildkröte und die Schildkröte bekommt die Hälfte der Strecke Vorsprung (ich hoffe ihr wisst, welches ich meine)
Darnok
Da du mir nicht wiedersprochen hast, versteh ich deinen Beitrag nicht. Ich bin in der 9.
@Septic
Ganz einfach: Die beiden Dreiecke sind nicht gleich. beim einen ist der obere Winkel, wo die beiden Dreiecke aufeinanderstoßen unter 180°, beim zweiten ist er über 180°
Japp, John:
Wer schon die Winkelfunktionen kennt: Der tan vom oberen Winkel des roten Dreiecks ist 8/3, der des türkisen 5/2. Immerhin ein Unterschied von 1/6.
@Eggie
Nun ja, das andere ist genauso mathematische Logik. Die beiden wiedersprechen sich vielleicht, aber das tut der Logik keinen Abbruch.
Leider ist dies keine mathematische Logik: wenn du das Ende von unendlich erreichst, dann ist es kein Unendlich mehr.
Es würde der Logik der Mathematik widersprechen: Unendlich ist ein Prozess, der nie zu Ende geht.
@Eggie
Nein, wenn du z.b. von 0 auf 1 kommen willst, un addierst immer die hälfte der noch verbleibenden Menge, dann musst du das exakt unendlich mal machen, aber du kommst an, genauso wie in dem (Schein-)paradoxon der Läufer die Schildkröte einholt - auf der Ziellinie.
Also die Dreiecke habt ihr ja richtig gelöst ... in der Tat ist \"das große Dreieck\", welches aus den Teilen zusammengesetzt ist ein Viereck.
Aber was genau nun unendlich bedeuten soll und ob es ein Prozess ist, ist eigentlich nicht Gegenstand der Mathematik. Dort werden \"unendlich\" bzw. Grenzprozesse einfach definiert und ihre Eigenschaften stehen dann unumstößlich fest. Was im Grunde genommen dahinterstecken könnte ist völlig egal und eher eine Frage für die Philosophen.
Interessanter finde ich da schon die Frage nach dem ausgeschlossenen Dritten, d.h. gibt es immer nur zwei Möglichkeiten für eine Aussage? Also wenn ich gezeigt habe, dass das eine nicht zutrifft ... tritt dann automatisch immer das andere ein? Die Mathematiker machen es sich da vielleicht zu leicht, indem sie einfach definieren, dass eine Aussage nur wahr oder falsch sein kann.
Mh, eigentlich nur bedingt. Denn meistens wird vorher noch die Einschränkung angegeben. z.B.:
Wenn es nicht regnet scheint die Sonne
Regen=a Sonne=b
na-->b
b-->na
Also
b<-->na
Da dadurch kein drittes Zugelassen wird, muss man sich darüber keine Gedanken machen.
Aber wegen der unendlichkeit:
Diese Prozesse werden aber nicht einfach nur so definiert, sondern NACH einer Untersuchung des Wesens von unendlich. Sonnst hätte ja auch einfach jemand unendlich=5 definieren können 
Also es kann schon sein, dass historisch zunächst die Vorstellung von der \"unendlichkeit\" da war ... für Mathematiker ist es aber einfach eine feste Definition. Da wird keine Untersuchung angestellt und auch kein Prozess vorgenommen.
zu der Frage nach dem ausgeschlossenen Dritten:
Die Frage ist im Grunde komplizierter. Manchmal ist es nämlich gar nicht entscheidbar, ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Es ist vielmahr nur \"plausibel\", dass diese nur diese beiden Extrema annehmen kann.
Übrigens kann die Mathematik auch Gedanken lesen ... wers nicht glaubt, der schaue hier
Diese Frage kann man sogar mit der Frage nach der unendlichkeit verbinden:
Ist das Universum unendlich?
Da liegt die Antwort wahrscheinlich in der mitte, da vermutet wird, dass das Weltall auf der Oberfläche einer 4-Dimensionalen Kugel liegt. Damit wäre es im Prinzip beides!
Aber das wäre schon irre. Versuch die mal einen Punkt vorzustellen, der von ALLEN PUNKTEN IM UNIVERSUM GLEICH WEIT entfernt ist! :shock:
@Gedanken lesen
Nun ja, ich muss zugeben, nach dem 2. Versuch ist das schon verblüffend - Bis man rausfindet, dass die Symbole zwar jedesmal geändert werden, aber immer alle Zahlen, die auf diese Weise zu erreichen möglich sind, das gleiche Symbol haben.
Zu plausibel: Es gibt auch in der Mathematik Axiome, das heißt: Behauptungen, die nicht bewiesen werden können, sondern so festgelegt werden. Vor allem bei Unendlichkeit muss man oft darauf zurückgreifen, aber beispielsweise lässt es sich nicht beweisen, dass in der euklidischen Geometrie (die, die wir fast alle verwenden) durch einen Punkt zu einer Geraden genau eine Parallele gezogen werden kann.
Mh, irgendwie versteh ich das nicht so ganz. Eine Paralelle zu WAS?
Zu dem link:das ist entweder zufall oder es funktioniert nicht:Ich hab\'s 13 mal probiert und nur 2 mal hats geklappt.
John: Zu einer beliebigen Geraden.
Anders formuliert: Wenn es einen Punkt gibt, und es gibt eine Gerade, dann gibt es genau eine Paralelle zu dieser Geraden, die durch diesen Punkt läuft.
Dieser Satz ist nicht beweisbar (nach aktueller Ansicht), und wurde deswegen zum 11. Axiom.
@Hueter:
Doch das funktioniert recht gut.
Du hast dich vielleicht verrechnet?
Ja ... Nick-Nack spricht es an. Über die Axiome kann man sich im Grunde genommen genau so streiten. Warum soll es z.B. möglich sein, aus einer Menge immer ein Element auswählen zu können? (Zornsches Lemma)
Was mir im ersten Semester immer wieder Hirnverknotung bereitet hat ist der Satz, dass es keine surjektive Abbildung einer Menge in ihre Potzenmenge gibt.
(Potenzmenge = Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge; surjektiv = jedes Element des Bildraumes wird tatsächlich als Wert der Abbildung angenommen)
Man definiert nämlich für eine beliebige Menge A und eine beliebige Abbildung f: P -> P(A) in die Potenzmenge von A eine Menge
T:= {a in A : a nicht in f(a)}. Diese Menge liegt offenbar in P(A). Wenn f nun surjektiv ist, so wäre T nicht leer und es gäbe ein Element, welches genau dann in T liegt, wenn es nicht in T liegt.
q.e.d :shock:
nun ja ... zumindest kann man mit den Potenzmenge Mengen beliebiger Mächtigkeit erzeugen indem man einfach von einer bereits unendlichen Menge startet. Die Potenzmenge wird diese also immer an Mächtigkeit übertreffen.
@Eggie
Nein, wenn du z.b. von 0 auf 1 kommen willst, un addierst immer die hälfte der noch verbleibenden Menge, dann musst du das exakt unendlich mal machen, aber du kommst an, genauso wie in dem (Schein-)paradoxon der Läufer die Schildkröte einholt - auf der Ziellinie.
Du kannst aber nicht EXAKT unendlich mal die Hälfte nehmen und irgendwann sagen: so jetzt ist unendlich zu Ende, und ich bin bei 1.
Du kannst dich diesem Wert immer annähern. Du kannst ständig neue Zahlen erfinden. Aber du wirst nie bei 1 landen. Unendlich ist eben ein Prozess. Ein unendlicher Prozess. Es gibt kein Ende, und somit gibt es auch bei dem annähern an 1 kein Ende. Und da es kein Ende gibt, ist die Fläche unendlich groß, obwohl man zu jedem Zeitpunkt des Prozesses sagen kann: im Moment ist die Zahl kleiner als 1. Verrückt aber wahr.
Das nennt sich eben mathematische Logik. 
Nun, ich denke, wenn ein Mathelehrer mit einem Doktortitel eben in Mathematik, sagt, dass mittlerweile bewiesen ist dass 1+1/2+1/4+1/8... = 2 ist, dann dürfte das stimmen. Du kannst zwar nicht den Punkt bestimmen, an dem die 2 erreicht sind, aber du kannst genau sagen, dass das Ergebnis 2 lautet. In diesem Prozess ist vielleicht an jedem Punkt des Prozesses die Zahl <2, trotzdem ist das Ergebnis eindeutig festgelegt - auf 2.
Nick-Nack
Ah! Echt? Ist irgendwie schon komisch. Jeder weiß, dass es so ist, aber beweisen kanns niemand. Allerdings gilt das wenn dann auch nur in einer 2, oder 3 dimensionalen Welt. bei 4 Dimensionen dürften das unendlich parallelen sein. :shock:
Dafür ist der limes da.
Der sogenannte Grenzwert, aber das wirst du wissen.
Man sagt in der Mathematik: eigentlich wird die zwei nie erreicht, aber die Zahl, die man erreicht, weicht so geringfügig von zwei ab, nämlich 1hoch minus unendlich, dass man sagt: man nennt diese Zahl zwei.
Diese Zahl ist nicht = 2, sondern diese Zahl lautet zwei minus eins hoch minus unendlich.
Eggsplasher: Sicher? Ich kenne das etwas anders:
Eine Zahl a ist der Limes (lat. \"Grenze\") einer Zahlenfolge, wenn a von der Folge nie erreicht wir und es keine Zahl gibt, an die die Folge näher herankommt, ohne sie zu erreichen.
@Septic: Häääääh? Himmel, ich bin erst in der 11!
